概率分布（probability distribution）是概率论中刻画随机变量取某些值以及以何种概率取值的概念，按照随机变量的种类，概率分布可以分为离散型概率分布、连续型概率分布以及奇异型概率分布。每个概率分布都有自己确定的分布函数，这些分布函数中可能有某些参数，一个概率分布代表了一大类有相似特征的随机变量。
概率分布的特征也即随机变量的特征，包括数学期望、分位数（中位数、四分位数等）、众数、方差（协方差）、偏度、峰度、母函数、特征函数、熵等。
离散型概率分布[]
离散型概率分布中刻画随机变量的上述标准也称分布律，由于它只会在可列个值处有概率，因此分布函数是跳跃函数（分段的常数函数）。期望和方差可以通过级数定义。
分布类型
分布律
数学期望
方差
特征函数
退化分布
p
(
c
)
=
1
{\displaystyle p(c) = 1}
c
{\displaystyle c}
0
{\displaystyle 0}
e
i
c
t
{\displaystyle \text{e}^{\text{i}ct}}
两点分布
p
(
x
)
=
{
p
,
x
=
1
q
,
x
=
0
p
+
q
=
1
{\displaystyle p(x) = \begin{cases} p , x = 1 \\ q , x = 0 \end{cases} \quad p+q=1}
p
{\displaystyle p}
p
q
{\displaystyle pq}
p
e
i
t
+
q
{\displaystyle p \text{e}^{\text{i}t} + q}
二项分布
b
(
k
;
n
,
p
)
=
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
{\displaystyle b(k; n, p) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k}}
n
p
{\displaystyle np}
n
p
q
{\displaystyle npq}
(
p
e
i
t
+
q
)
n
{\displaystyle (p \text{e}^{\text{i}t} + q )^n}
几何分布
g
(
k
;
,
p
)
=
q
k
−
1
p
{\displaystyle g(k;, p) = q^{k-1} p}
1
p
{\displaystyle \dfrac{1}{p}}
q
p
2
{\displaystyle \dfrac{q}{p^2}}
p
e
i
t
1
−
q
e
i
t
{\displaystyle \dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}}
Pascal 分布
f
(
k
;
r
,
p
)
=
(
k
−
1
r
−
1
)
p
r
q
k
−
r
{\displaystyle f(k; r, p) = \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r}}
r
p
{\displaystyle \dfrac{r}{p}}
r
q
p
2
{\displaystyle \dfrac{rq}{p^2}}
(
p
e
i
t
1
−
q
e
i
t
)
r
{\displaystyle \left(\dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}\right)^r}
Poisson 分布
p
(
k
;
λ
)
=
λ
k
k
!
e
−
λ
{\displaystyle p(k;\lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}}
λ
{\displaystyle \lambda}
λ
{\displaystyle \lambda}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \text{e}^{\lambda(\text{e}^{\text{i}t}-1)}}
超几何分布
p
(
k
)
=
(
M
k
)
(
N
−
M
n
−
k
)
(
N
n
)
{\displaystyle p(k) = \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}}
n
M
N
{\displaystyle \dfrac{nM}{N}}
n
M
N
(
1
−
M
N
)
N
−
n
N
−
1
{\displaystyle \dfrac{nM}{N} \left( 1 - \dfrac{M}{N} \right) \dfrac{N-n}{N-1}}
∑
k
=
0
n
(
M
k
)
(
N
−
M
n
−
k
)
(
N
n
)
e
i
t
k
{\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} \text{e}^{\text{i}tk}}
负二项分布
(
−
r
t
)
p
r
(
−
q
)
t
{\displaystyle \dbinom{-r}{t} p^{r} (-q)^{t}}
r
q
p
{\displaystyle \dfrac{rq}{p}}
r
q
p
2
{\displaystyle \dfrac{rq}{p^2}}
(
p
1
−
q
e
i
t
)
r
{\displaystyle \left( \dfrac{p}{1-q\text{e}^{\text{i}t}} \right)^r}
连续型概率分布[]
连续型概率分布中常用的是随机变量的密度函数，由于它在区间上取值，因此分布函数是绝对可积的。期望和方差可以通过反常积分定义。
分布类型
分布律
数学期望
方差
特征函数
均匀分布
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
0
,
x
∉
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, & x \in [a, b], \\
0 , & x \notin [a, b].
\end{cases}}
a
+
b
2
{\displaystyle \dfrac{a+b}{2}}
(
a
−
b
)
2
12
{\displaystyle \dfrac{(a-b)^2}{12}}
e
b
i
t
−
e
a
i
t
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \dfrac{\text{e}^{b\text{i}t}-\text{e}^{a\text{i}t}}{\text{i}t(b-a)}}
指数分布
f
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\lambda \text{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
1
λ
{\displaystyle \dfrac{1}{\lambda}}
1
λ
2
{\displaystyle \dfrac{1}{\lambda^2}}
(
1
−
i
t
λ
)
−
1
{\displaystyle \left( 1-\dfrac{\text{i}t}{\lambda} \right)^{-1}}
正态分布
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
{\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \text{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}
μ
{\displaystyle \mu}
σ
2
{\displaystyle \sigma^2}
e
μ
i
t
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \text{e}^{\mu\text{i}t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}}
对数正态分布
f
(
x
)
=
{
1
2
π
σ
x
e
−
(
ln
x
−
μ
)
2
2
σ
2
,
x
>
0
,
0
,
x
⩽
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \text{e}^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}, & x > 0, \\
0, & x \leqslant 0.
\end{cases}}
e
μ
+
σ
2
2
{\displaystyle \text{e}^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}}
e
2
μ
+
σ
2
(
e
σ
2
−
1
)
{\displaystyle \text{e}^{2\mu+\sigma^2}(\text{e}^{\sigma^2}-1)}
∑
n
=
0
∞
(
i
t
)
n
n
!
e
n
μ
+
n
2
σ
2
2
{\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{i}t)^n}{n!} \text{e}^{n\mu + \frac{n^2\sigma^2}{2}}}
Γ 分布
f
(
x
)
=
{
λ
α
Γ
(
α
)
x
α
−
1
e
−
λ
x
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \text{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
α
λ
{\displaystyle \dfrac{\alpha}{\lambda}}
α
λ
2
{\displaystyle \dfrac{\alpha}{\lambda^2}}
(
1
−
i
t
λ
)
−
α
{\displaystyle \left( 1-\dfrac{\text{i}t}{\lambda} \right)^{-\alpha}}
χ² 分布
f
(
x
)
=
{
1
2
n
2
Γ
(
n
2
)
x
n
2
−
1
e
−
x
2
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{2^\frac{n}{2}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} x^{\frac{n}{2}-1} \text{e}^{-\frac{x}{2}}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
n
{\displaystyle n}
2
n
{\displaystyle 2n}
(
1
−
2
i
t
)
−
n
2
{\displaystyle (1-2\text{i}t)^{-\frac{n}{2}}}
t 分布
f
(
x
)
=
Γ
(
n
+
1
2
)
n
π
Γ
(
n
2
)
(
1
+
x
2
n
)
−
n
+
1
2
{\displaystyle f(x) = \dfrac{\Gamma\!\left( \frac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} \left( 1 + \dfrac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}}
0
,
n
>
1
{\displaystyle 0, n > 1}
n
n
−
2
,
n
>
2
{\displaystyle \dfrac{n}{n-2}, n > 2}
{\displaystyle }
F 分布
f
(
x
)
=
{
Γ
(
k
1
+
k
2
2
)
Γ
(
k
1
2
)
Γ
(
k
2
2
)
k
1
k
1
2
k
2
k
2
2
x
k
1
2
−
1
(
k
2
+
k
1
x
)
k
1
+
k
2
2
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1+k_2}{2} \right)}{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1}{2} \right)~\Gamma\!\left( \dfrac{k_2}{2} \right)} k_1^\frac{k_1}{2} k_2^\frac{k_2}{2} \dfrac{x^{\frac{k_1}{2}-1}}{(k_2+k_1x)^\frac{k_1+k_2}{2}}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
k
2
k
2
−
2
,
k
2
>
2
{\displaystyle \dfrac{k_2}{k_2-2}, k_2 > 2}
2
k
2
2
(
k
1
+
k
2
−
2
)
k
1
(
k
2
−
2
)
2
(
k
2
−
4
)
,
k
2
>
4
{\displaystyle \dfrac{2k_2^2 (k_1+k_2-2)}{k_1 (k_2-2)^2 (k_2-4)}, k_2 > 4}
{\displaystyle }
β 分布
f
(
x
)
=
{
1
B
(
p
,
q
)
x
p
−
1
(
1
−
x
)
q
−
1
,
x
∈
(
0
,
1
)
,
0
,
x
∉
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\Beta(p,q)} x^{p-1} (1-x)^{q-1}, & x \in (0, 1), \\
0, & x \notin (0, 1).
\end{cases}}
p
p
+
q
{\displaystyle \dfrac{p}{p+q}}
p
q
(
p
+
q
)
2
(
p
+
q
+
1
)
{\displaystyle \dfrac{pq}{(p+q)^2 (p+q+1)}}
Γ
(
p
)
Γ
(
p
+
q
)
∑
n
=
0
∞
Γ
(
p
+
n
)
(
i
λ
t
)
n
Γ
(
p
+
q
+
n
)
Γ
(
n
+
1
)
{\displaystyle \dfrac{\Gamma(p)}{\Gamma(p+q)} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\Gamma(p+n) (\text{i}\lambda t)^n}{\Gamma(p+q+n) \Gamma(n+1)}}
Cauchy 分布
f
(
x
)
=
1
π
⋅
λ
λ
2
+
(
x
−
μ
)
2
{\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\lambda}{\lambda^2 + (x-\mu)^2}}
不存在
不存在
e
i
μ
t
−
λ
|
t
|
{\displaystyle \text{e}^{\text{i} \mu t - \lambda |t|}}
Rayleigh 分布
f
(
x
)
=
{
x
σ
2
e
−
x
2
2
σ
2
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{x}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
π
2
σ
{\displaystyle \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma}
(
2
−
π
2
)
σ
2
{\displaystyle \left( 2-\dfrac{\pi}{2} \right) \sigma^2}
1
−
π
2
σ
t
e
−
σ
2
t
2
2
(
erfi
(
σ
t
2
)
−
i
)
{\displaystyle 1 - \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \sigma t\text{e}^{-\frac{\sigma^2 t^2}{2}} \left(\text{erfi}\left(\dfrac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-\text{i}\right)}
Laplace 分布
f
(
x
)
=
1
2
α
e
−
|
x
−
μ
|
α
{\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{2\alpha} \text{e}^{-\frac{|x-\mu|}{\alpha}}}
μ
{\displaystyle \mu}
2
α
2
{\displaystyle 2\alpha^2}
e
i
μ
t
1
+
α
2
t
2
{\displaystyle \dfrac{\text{e}^{\text{i}\mu t}}{1+\alpha^2 t^2}}
Weibull 分布
f
(
x
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
x
k
λ
k
,
x
⩾
0
,
0
,
x
<
0.
{\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\dfrac{k}{\lambda} \left( \dfrac{x}{\lambda} \right)^{k-1} \text{e}^{-\frac{x^k}{\lambda^k}}, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}}
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \lambda \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)}
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
2
(
1
+
1
k
)
]
{\displaystyle \lambda^2 \left[ \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{2}{k} \right) - \Gamma^2\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right) \right]}
∑
n
=
0
∞
(
i
λ
t
)
n
n
!
Γ
(
1
+
n
k
)
{\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{i}\lambda t)^n}{n!} \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{n}{k} \right)}
参考资料李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.
概率分布（学科代码：1106420，GB/T 13745—2009）
概率公理化
随机事件 ▪ 样本空间 ▪ De Morgan 定理 ▪ 概率空间 ▪ 古典概型 ▪ 几何概型 ▪ 条件概率 ▪ 事件独立性 ▪ 独立重复试验 ▪ Bernoulli 概型
随机变量
离散型随机变量 ▪ 连续型随机变量 ▪ 随机变量的函数 ▪ 随机向量 ▪ 边缘分布 ▪ 条件分布 ▪ 随机变量的独立性 ▪ 随机向量的函数 ▪ 极差分布
随机变量的特征
数学期望 ▪ 方差 ▪ 协方差 ▪ 相关系数 ▪ 矩 ▪ 母函数 ▪ 矩量母函数 ▪ 特征函数 ▪ 示性函数 ▪ 中位数 ▪ 众数 ▪ 峰度 ▪ 偏度
离散概率分布
二项分布 ▪ 几何分布 ▪ Pascal 分布 ▪ Poisson 分布 ▪ 超几何分布 ▪ 对数分布 ▪ 负二项分布 ▪ 多项分布 ▪ 多元超几何分布
连续概率分布
正态分布 ▪ 均匀分布 ▪ 指数分布 ▪ 对数正态分布 ▪ Γ 分布 ▪ χ 分布 ▪ β 分布 ▪ Rayleigh 分布 ▪ Cauchy 分布 ▪ Pareto 分布 ▪ Laplace 分布 ▪ Weibull 分布 ▪ Maxwell 分布律 ▪ 二元正态分布 ▪ 多元正态分布
统计三大分布
χ² 分布 ▪ F 分布 ▪ t 分布 ▪ 非中心 χ² 分布 ▪ 非中心 F 分布 ▪ 非中心 t 分布
所在位置：数学（110）→ 概率论（11064）→ 概率分布（1106420）